KepraktisanMenggunakan Sistem Koordinat Heksagonal. Pada umumnya ada empat pertimbangan utama yang harus dipertimbangkan ketika menggunakan sistem koordinat heksagonal: Konversi Gambar - Perangkat keras yang mampu menangkap gambar dari dunia nyata langsung ke kisi heksagonal sangat khusus, sehingga tidak tersedia secara umum untuk digunakan.
0% found this document useful 0 votes190 views6 pagesDescriptionKoordinat kartesius dan polarCopyright© © All Rights ReservedAvailable FormatsPPT, PDF, TXT or read online from ScribdShare this documentDid you find this document useful?0% found this document useful 0 votes190 views6 pagesSistem KoordinatJump to Page You are on page 1of 6 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang Koordinat Kartesius Sistem koordinat kartesius 2D adalah sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus. Reward Your CuriosityEverything you want to Anywhere. Any Commitment. Cancel anytime.
Sistemkoordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z). Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4.
Figures - uploaded by Joko HariajiAuthor contentAll figure content in this area was uploaded by Joko HariajiContent may be subject to copyright. Discover the world's research25+ million members160+ million publication billion citationsJoin for free i KALKULUS LANJUT “The Polar Coordinate System” “Graphs of Polar Equations” “Calculus in Polar Coordinates” DOSEN PENGAMPU HAMIDAH NASUTION Disusun Oleh PUTRI MAYANG SARI SIREGAR PRODI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKAPROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN April, 2021 ii KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas Berkat Rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan tugas makalah Kelompok 1 satu ini dengan baik untuk memenuhi tugas mata kuliah Kalkulus lanjut. Adapun judul dari makalah ini adalah “The Polar Coordinate System, Graphs of Polar Equations and Calculus in Polar Coordinates” Kami mengucapkan terima kasih kepada Dosen Pengampu yaitu Ibu Hamidah Nasution yang telah memberikan bimbingan dan saran sehingga terselesaikannya tugas makalah ini. Kami berharap semoga makalah ini berguna bagi pembaca meskipun terdapat banyak kekurangan di dalamnya. Akhir kata kami minta maaf sebesar-besarnya kepada pihak pembaca maupun pengoreksi jika terdapat kesalahan dalam penulisan, penyusunan maupun kesalahan lain yang tidak berkenan di hati pembaca maupun pengoreksi, karena hingga saat ini kami masih dalam proses belajar. Oleh karena itu kami memohon kritik dan sarannya demi kemajuan bersama. Medan, 24 April 2021 Penulis iii DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ............................................................................................................................. i KATA PENGANTAR ......................................................................................................................... ii DAFTAR ISI ....................................................................................................................................... iii BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................................................... 1 A. Latar Belakang .............................................................................................................................. 1 B. Rumusan Masalah ......................................................................................................................... 2 C. Tujuan Makalah ............................................................................................................................ 2 BAB II PEMBAHASAN ...................................................................................................................... 3 A. System Koordinat Polar ................................................................................................................ 3 Perbedaan Koordinat Polar Dengan Korrdinat Cartesius ...................................................................... 3 B. Grafik Pada System Koordinat Polar ............................................................................................ 4 C. Luas Daerah Pada Grafik Koordinat Polar .................................................................................. 14 BAB III PENUTUP ............................................................................................................................ 18 A. Kesimpulan ................................................................................................................................. 18 B. Saran ........................................................................................................................................... 18 DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................................... 19 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Sistem koordinat kutub dalam suatu bidang terdiri dari satu titik tetap O yang disebut titik asal atau titik kutub dan sebuah garis berarah yang bermula dari titik asal tersebut, yang disebut dengan sumbu kutub. Dalam koordinat kutub, setiap titik P dinyatakan dalam pasangan r, θ, di mana r adalah jarak titik P ke titik asal, dan θ adalah sudut dari sumbu kutub ke garis OP. Bilangan r disebut koordinat radial dan q disebut koordinat angular atau sudut kutub dari P. Sudut dinyatakan dalam angka positif jika diukur berlawanan jarum jam dan dinyatakan dengan angka negatif jika diukur searah jarum jam Alice, 2021. Pada bagian ini kita akan membahas suatu sistem koordinat yang disebut sistem koordinat polar atau sistem koordinat kutub. Sistem ini diperkenalkan oleh Newton, dan lebih mudah digunakan pada banyak kasus. Pada sistem ini, kita pilih sebuah titik pada bidang, yang disebut titik kutub atau titik asal, dan diberi lambang O. Lalu kita buat suatu garis yang berawal dari O, yang disebut sumbu polar atau sumbu kutub. Sumbu ini biasanya digambarkan secara horizontal ke kanan dan berimpit sengan sumbu x pada koordinat Cartesius 2021. Purcell dan Varberg 1987106 Setiap titik p selain dari kutub adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di O dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari O. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan adalah salah satu kudut antara sinar dan sumbu kutub, maka r, dinamakan sepasang koordinat kutub dari titik p gambar 2. Kalkulus integral adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep yang saling berhubungan, integral taktentu dan integral tertentu. Proses pencarian nilai dari sebuah integral dinamakan pengintegralan integration. Dengan kata lain, kalkulus integral mempelajari dua operator linear yang saling berhubungan. Integral taktentu adalah antiturunan, yakni kebalikan dari turunan. F adalah integral taktentu dari f ketika f adalah turunan dari F. Integral tertentu memasukkan sebuah fungsi dengan outputnya adalah sebuah angka, yang mana memberikan luas antar grafik yang dimasukkan dengan sumbu x. Aplikasi integral sangatlah banyak, misalnya mencari luas daerah, volume benda putar, panjang kurva, momen inersia, dan sebagainya. Aplikasi dari integral ini sangat berguna untuk 2 memecahkan masalah-masalah fisika kontekstual maupun tidak. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita temukan bidang datar yang memiliki bentuk yang rumit. Sebagai contoh adalah dedaunan. Dedaunan yang sering kita lihat mempunyai bentuk yang bisa dikatakan rumit. Andaikan kita diberikan tugas oleh guru ataupun dosen kita untuk menentukan luas dari daun kamboja, atau daun yang lainnya, tentu kita akan merasa kebingungan untuk menghitungnya. Hal ini akan bisa dibantu dengan menggunakan integral. Dengan integral kita bisa menghitung luas daerah yang tidak teratur atau biasa dikatakan rumit. Berdasarkan pengantar tersebut maka dapat disimpulkan bahwa pada makalah ini membahas tentang system koordinat polar, grafik persamaan kutub dan kalkulus dalam koordinat kutub. B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatas, dapat diambil rumusan masalah sebagai berikut 1. Bagaimana system koordinat polar? 2. Bagaimana mengambar grafik pada system koordinat polar? 3. Bagaimana menghitung luas daerah pada grafik koordinat polar? C. Tujuan Makalah Dari rumusan masalah di atas, dapat diambil tujuan masalah sebagai berikut 1. Untuk mengetahui Bagaimana system koordinat polar. 2. Untuk mengetahui Bagaimana mengambar grafik pada system koordinat polar. 3. Untuk mengetahui Bagaimana menghitung luas daerah pada grafik koordinat polar 3 BAB II PEMBAHASAN A. System Koordinat Polar Pada bagian ini kita akan membahas suatu sistem koordinat yang disebut sistem koordinat polar atau sistem koordinat kutub. Sistem ini diperkenalkan oleh Newton, dan lebih mudah digunakan pada banyak kasus. Pada sistem ini, kita pilih sebuah titik pada bidang, yang disebut titik kutub atau titik asal, dan diberi lambang O. Lalu kita buat suatu garis yang berawal dari O, yang disebut sumbu polar atau sumbu kutub. Sumbu ini biasanya digambarkan secara horizontal ke kanan dan berimpit sengan sumbu x pada koordinat Cartesius. Misalkan P adalah suatu titik pada bidang. Jika r adalah jarak dari O ke P, dan θ adalah suatu sudut biasanya diukur dalam radian antara sumbu polar dan garis OP, maka pasangan berurut r,θ disebut koordinat polar dari titik P. Kita sepakati bahwa sudut adalah positif jika diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu polar dan negatif jika diukur searah jarum jam. Koordinat 0,θ menyatakan titik asal, untuk sembarang nilai θ. Titik -r,θ dan r,θ terletak pada garis yang sama melalui O dan berjarak sama, yaitu r dari O. Jika r>O. Jika r>0, titik r,θ terletak di kuadran yang sama dengan θ. Dalam koordinat Cartesius, setiap titik hanya memiliki satu penyajian. Dalam sistem koordinat polar, masing-masing titik mempunyai banyak penyajian. titik r,θ dapat juga dinyatakan dengan r,θ+2nπ atau −r,θ+2n+1π, dengan n adalah bilangan bulat sembarang. Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat Cartesius dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika titik P mempunyai koordinat polar r,θ dan koordinat Cartesius x,y, maka dengan bantuan gambar, dapat dilihat hubungan berikut Cosθ = x/r dan sinθ = y/r Jadi, jika kita tahu bahwa suatu titik P mempunyai koordinat polar r,θ, maka koordinat Cartesiusnya adalah x,y, dengan x dan y diberikan oleh x = dan y = Sebaliknya, jika kita tahu bahwa suatu titik P mempunyai koordinat Cartesius x,y, maka koordinat polarnya adalah r,θ, dimana r dan θ memenuhi hubungan berikut r2 = x2 + y2 dan tan θ = y/x Dalam sistem koordinat polar, suatu kurva umumnya dinyatakan dalam bentuk r=fθ, untuk suatu fungsi f. Perbedaan Koordinat Polar Dengan Korrdinat Cartesius 4 • Korrdinat cartesius menggunakan garis bilangan sebagai sumbu x dan sumbu y. dan dapat digunakan dalam satu, dua atau tiga dimensi • Sedangkan koordinat kutub menggunakan sudut dan Panjang sebagai koordinat Persamaan pada Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius x = y = + = Contoh soal Ubahlah persamaan polar ini ke persamaan cartesius - 6 - 4 + 9 = 0 x = cos = ………i y = sin = ……….ii + = Subtitusikan i, ii dan iii kepersamaan; - 6 - 4 + 9 = 0 + - 6r – 4r. + 9 = 0 + - 6x – 4y + 9 = 0 B. Grafik Pada System Koordinat Polar 1. Garis Garis dalam koordinat kutub dapat dinyatakan sebagai berikut ▪ Garis vertikal yang melalui a, 0 r cos θ = a ▪ Garis horisontal yang melalui 0, b r sin θ = b ▪ Garis yang melalui 0, 0 θ = θ0 Gambar Garis dalam Koordinat Kutub, sumber 2021 Contoh 5 Gambar Garis dalam Koordinat Cartesius, sumber 2021 2. Lingkaran Beberapa persamaan lingkaran dapat dinyatakan dalam koordinat kutub. ▪ Lingkaran berjari-jari a dengan pusat 0, 0 r = a ▪ Lingkaran berjari-jari a dengan pusat a, 0 r = 2a cos θ ▪ Lingkaran berjari-jari a dengan pusat 0, a r = 2a sin θ Gambar Lingkaran dalam Koordinat Kutub, sumber 2021 Contoh Gambar Lingkaran dalam Koordinat Kutub, sumber 2021 6 3. Kardioida dan Limaçon Persamaan-persamaan dalam bentuk r = a + b sin θ r = a – b sin θ r = a + b cos θ r = a – b cos θ di mana a dan b adalah bilangan-bilangan positif, menghasilkan kurva-kurva yang disebut limaçon. Limaçon berasal dari kata Latin “limax” yang berarti siput. Jika a = b, limaçon yang dihasilkan disebut kardioida berasal dari kata Yunani “cardia” yang berarti jantung Beberapa bentuk limaçon yang terjadi adalah sebagai berikut Gambar Limacon, sumber 2021 Untuk ▪ r = a + b sin θ → limaçon menghadap ke bawah ▪ r = a – b sin θ → limaçon menghadap ke atas ▪ r = a + b cos θ → limaçon menghadap ke kiri ▪ r = a – b cos θ → limaçon menghadap ke kanan Contoh 1 Sketsalah grafik fungsi r = 2 + 2 sin θ Tabel 7 Contoh 2 Sketsalah grafik fungsi r = 3 – 2 sin θ Tabel Gambar Contoh 3 Sketsalah grafik fungsi r =1 + 2 cos θ Tabel 8 Gambar Contoh 4 Sketsalah grafik fungsi r = 2 – 2 cos θ Tabel 9 4. Lemniscate Persamaan-persamaan dalam bentuk r2 = a2 cos 2θ r2 = –a2 cos 2θ r2 = a2 sin 2θ r2 = –a2 sin 2θ di mana a adalah bilangan positif, akan membentuk kurva yang berbentuk seperti baling-baling. Lemniscate berasal dari kata Yunani “lemniscos” yang berarti pita bergulung yang membentuk angka 8. Gambar Lemniscate, sumber 2021 Contoh Sketsalah kurva r2 = 4 cos 2θ Tabel 10 5. Spiral Persamaan dalam bentuk r = aθ akan membentuk kurva yang berbentuk spiral, ujungnya dimulai dari titik asal 0, 0. Banyaknya putaran dalam spiral tergantung dari kisaran nilai θ. Jika θ berkisar dari 0 hingga 2π, spiral yang terbentuk memiliki 1 putaran. Jika θ berkisar dari 0 hingga 4π, spiral yang terbentuk memiliki 2 putaran, dan seterusnya. Contoh 1 Sketsalah grafik kurva r = θ untuk 0 ≤ θ ≤ 2π Tabel Gambar; Gambar kurva yang berbentuk spiral, sumber 2021 Contoh 2 Sketsalah grafik kurva r = – ½ θ untuk 0 ≤ θ ≤ 4π Tabel Gambar; 11 Gambar kurva yang berbentuk spiral, sumber 2021 6. Kurva Rose Persamaan-persaman dalam bentuk r = a sin nθ r = a cos nθ akan membentuk kurva-kurva yang berbentuk bunga yang disebut rose mawar. Jika n gasal, rose akan mempunyai n daun. Jika n genap, rose akan mempunyai 2n daun. Gambar kurva Rose, sumber 2021 Contoh Sketsalah kurva r = 4 cos 2θ Tabel 12 Gambar; Rangkuman; Menggambarkan Grafik pada Sistem Koordinat Polar • Kesimetrian • Terdapat 2 kasus kesimetrian pada saat akan mengambar grafik pada system koordinat Polar 1. Kurva akan simetri pada sumbu x, jika r = r- 2. Kurva akan simetri pada sumbu y, jika r = r - • Selanjutnya akan diberikan contoh penggambaran grafik pada koordinat polar Gambarlah grafik r = 5 + 5 cos • Karena cos = cos - maka sumbu tersebut akan simetri terhadap sumbu x Selanjutnya akan dicari nilai r pada setiap sudut theta, diberikan sebagai berikut Matematika, 2021; • Sehingga dapat digambarkan sebuah grafik polar sebagai berikut; 13 • Beberapa Persamaan Polar dan Bentuk Grafiknya Contoh Soal 1. Bagaimana bentuk dari grafik r = 5 + 3 sin Coba gunakan sifat – sifat dan bentuk bentuk yang baru kita jelaskan! r = 5 + 3 sin a = 5, b = 3, sin simetri terhadap sumbu y maka; = 1 < < 2 ,maka bentuknya adalah one looplimacon 14 C. Luas Daerah Pada Grafik Koordinat Polar Pada Kooordinat Polar, bentuk dari luasnya dan rumus untuk mencari luasnya adalah sebagai berikut; Maka A = A = 1. Garis Singgung Untuk menentukan garis singgung pada kurva polar r=fθ, kita anggap θ sebagai parameter dan menulis persamaan parametriknya sebagai berikut 2021 x = =fθ.cosθ y = = fθ.sinθ Dengan metode penentuan kemiringan garis singgung m pada kurva parametrik kita peroleh m= dy/dx = dy/dθ/dx/dθ = [f′θsinθ+fθcosθ]/[f′θcosθ−fθsinθ]. Kurva mempunyai garis singgung horizontal di titik dengan dy/dθ=0, asalkan dx/dθ≠0. Kurva mempunyai garis singgung vertikal di titik dengan dx/dθ=0, asalkan dy/dθ≠0. 2. Luas Untuk menurunkan rumus luas daerah yang dibatasi kurva dalam persamaan polar, kita perlu menggunakan rumus luas sektor juring dari suatu lingkaran dengan jari-jari r, yaitu 2021; L= r2θ dengan θ adalah sudut pusat yang diukur dalam radian. Rumus ini didapat dari fakta bahwa luas sektor lingkaran adalah sebanding dengan sudut pusatnya. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva polar r=fθ dan oleh dua garis θ = a dan θ = b, dimana f adalah kontinu dan tak negatif serta 0≤b−a≤2π. Kita bagi selang [a,b] menjadi n anak selang yang sama panjang, dengan titik-titik ujung θ0,θ1,...,θn dan panjang masing-masing anak selang adalah Δθ. Dengan demikian, daerah D juga terbagi menjadi n daerah bagian, yang masing-masing memiliki sudut pusat Δθ. 15 Kita pilih θi[θi−1,θi]. Jika ΔLi menyatakan luas daerah bagian ke-i, maka daerah ini dapat dihampiri dengan luas sektor lingkaran dengan jari-jari fθi dan sudut pusat Δθ, yaitu 2021; ΔLi= fθi2Δθ Sehingga hampiran untuk total luas daerah D adalah L≈dθ=dθ Perhatikan bahwa jumlah di atas adalah sebuah jumlah Riemann, dan nilai hampiran akan semakin mendekati luas daerah D jika n→∞. Akhirnya, kita peroleh rumus untuk menentukan luas daerah D sebagai berikut L=dθ=dθ Contoh Soal 1. Tentukan koordinat polar berdasarkan koordinat cartesius berikut ini; a.3,3 b.-2, 2 Jawab; a.3, 3= x,y tan = Mencari + = tan = 3 27 + 9 = tan = = 36 = = = 6 = r Jadi koordinat Polarnya r, = 6, b.-2, 2= x,y tan = Mencari + = tan = −2 12 + 4 = tan = = - 16 16 = = = 4 = r Jadi koordinat Polarnya r, = 4, 2. Buatlah grafik Polar dari Persamaan r = 1- 2 sin , Tentukan koordinat cartesius berdasarkan koordinat polar tersebut; Jawab • Jika dibuat tabel dan dicari nilai r-nya didapatkan; 3. Carilah luas daerah di dalam kurva r = 1 – cos dan r = 1 + cos Jawab Langkah 1 gambar kedua kurva tersebut Jika dilihat kurva yang diarsir adalah luas 4 buah helai daun 17 Maka kita bisa mencari luas 1 helai daun dan dikalikan 4, Karena keempatnya simetris. Jika digunakan kurva r = 1 – cos, maka didapatkan batasnya adalah dari =0 sampai = maka luas 1 helai daun; L = 0 = 1 – cos0 = cos0 cos …….i Karena cos= + cos…….ii Dari i dan ii maka; L = + cos0 cos L = sin 2sin 0 L = Maka luas seluruhnya = 4 x L = 4 x = 18 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan 1. Perbedaan Koordinat Polar Dengan Korrdinat Cartesius ❑ Korrdinat cartesius menggunakan garis bilangan sebagai sumbu x dan sumbu y. dan dapat digunakan dalam satu, dua atau tiga dimensi ❑ Sedangkan koordinat kutub menggunakan sudut dan Panjang sebagai koordinat Persamaan pada Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius ❑ x = ❑ y = ❑ + = 2. Menggambarkan Grafik pada Sistem Koordinat Polar ❑ Kesimetrian ❑ Terdapat 2 kasus kesimetrian pada saat akan mengambar grafik pada system koordinat Polar a Kurva akan simetri pada sumbu x, jika r = r- b Kurva akan simetri pada sumbu y, jika r = r - 3. Luas daerah pada Grafik Koordinat Polar ❑ Pada Kooordinat Polar, bentuk dari luasnya dan rumus untuk mencari luasnya adalah sebagai berikut; Maka A = A = B. Saran Penulis menyadari bahwa makalah ini jauh dari kesempurnaan. Baik dari segi kedalaman materi yang dipaparkan, bahan referensi, pilihan kata, dan tata aturan pemgambilan kutipan sebagai dasar teori masih sangat kurang. Oleh karena itu penulis senantiasa dengan senang hati dan lapang dada menerima bimbingan, arahan serta saran dan kritik yang sifatnya membangun demi perbaikan makalah ini. 19 DAFTAR PUSTAKA Alice. 2021, April 24. Koordinat Kutub. Retrieved from Learn with alice Matematika, S. 2021, April 24. Kupas tuntas TEOREMA EULER Sangat Mudah. Retrieved from 2021, April 24. Sistem Koordinat Polar. Retrieved from Rangkuman - Koordinat Polar Kalkulus Lengkap ResearchGate has not been able to resolve any citations for this tuntas TEOREMA EULER Sangat Mudah. Retrieved from YoutubeS MatematikaMatematika, S. 2021, April 24. Kupas tuntas TEOREMA EULER Sangat Mudah. Retrieved from 2021, April 24. Sistem Koordinat Polar. Retrieved from Rangkuman -Koordinat Polar Kalkulus Lengkap
1 Sistem Koordinat . Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang (R 2) atau ruang (R 3) . Beberapa macam sistem koordinat yang kita kenal, antara lain sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: 1596-1650), sistem koordinat kutub, sistem koordinat tabung, dan sistem koordinat bola.
Sistem koordinat polar sistem koordinat kutub dalam matematika adalah suatu sistem koordinat 2-dimensi di mana setiap titik pada bidang ditentukan dengan jarak dari suatu titik yang telah ditetapkan dan suatu sudut dari suatu arah yang telah koordinat polar sistem koordinat kutubDalam matematika adalah suatu sistem koordinat 2-dimensi di mana setiap titik pada bidang ditentukan dengan jarak dari suatu titik yang telah ditetapkan dan suatu sudut dari suatu arah yang telah yang telah ditetapkan analog dengan titik origin dalam sistem koordinat Kartesius disebut pole atau “kutub”, dan ray atau garis geometri “sinar” dari kutub pada arah yang telah ditetapkan disebut “aksis polar” polar axis. Jarak dari suatu kutub disebut radial coordinate atau radius, dan sudutnya disebut angular coordinate, polar angle, atau dari atau ke koordinat KartesiusSebuah kurva dalam bidang Kartesian dapat dipetakan ke dalam koordinat polar. Dalam animasi ini, dipetakan kepada .Koordinat polar r dan φ dapat dikonversi ke dalam sistem koordinat Kartesius x dan y menggunakan fungsi trigonometri sinus dan kosinusKoordinat Kartesian x dan y dapat dikonversi ke dalam koordinat polar r dan φ dengan r ≥ 0 dan φ dalam interval −π, π] dengan sebagaimana dalam teorema Pythagoras atau Euclidean norm, dan,di mana atan-antan merupakan variasi umum pada fungsi arctangent yang didefinisikan sebagaiNilai φ di atas adalah principal value dari fungsi bilangan kompleks argument yang diterapkan pada x+iy. Suatu sudut dalam rentang [0, 2π dapat diperoleh dengan menambahkan 2π pada nilai sudut itu jika nilainya dalam sistem koordinat polar dengan kutub/pole O dan aksis polar L. Warna hijau titik dengan koordinat radial 3 dan koordinat angular 60 derajat, atau 3,60°. Warna biru titik 4,210°. Sumber foto Wikimedia Commons. Ilustrasi Sistem Koordinat PolarKonsep sudut dan jari-jari sudah digunakan oleh manusia sejak zaman purba, paling tidak pada milenium pertama SM. Astronom dan astrolog Yunani, Hipparchus, 190–120 SM menciptakan tabel fungsi chord dengan menyatakan panjang chord bagi setiap sudut, dan ada rujukan mengenai penggunaan koordinat polar olehnya untuk menentukan posisi bintang-bintang. Dalam karyanya On Spirals, Archimedes menyatakan Archimedean spiral, suatu fungsi yang jari-jarinya tergantung dari sudut. Namun, karya-karya Yunani tidak berkembang sampai ke suatu sistem koordinat abad ke-8 M dan seterusnya, para astronom mengembangkan metode untuk menghitung arah ke Mekkah kiblat— dan jaraknya — dari semua lokasi di Sistem Koordinat PolarSebuah grid polar dengan beberapa sudut yang diberi label dalam radialKoordinat radial sering dilambangkan dengan r, dan koordinat angular dilambangkan dengan φ, θ, atau t. Koordinat angular ditetapkan sebagai φ oleh standar ISO dalam notasi polarSudut dalam notasi polar biasanya dinyatakan dalam derajat atau radian 2π rad sama dengan to 360°. Derajat biasanya digunakan dalam navigasi, surveying, dan banyak bidang, sementara radian lebih umum dalam matematika dan banyak konteks, suatu koordinat angular positif berarti sudut φ diukur berlawanan dengan jarum jam dari literatur matematika, aksis polar sering digambar horizontal dan mengarah ke Soal dan Jawaban Koordinat Polar sistem koordinat kutub1. Mengubah atau Mengkonversi Koordinat Polar ke Koordinat Kartesius. Koordinat kartesius dari titik 10, 315° adalah…A. -5, -5√2 B. -5, 5√2 C. 5√2, 5√2 D. 5√2, -5√2 E. 5, -5√2Jawab D» Sudut 315° kuadran IV —–> x, -y » Dari pilihan jawaban di atas maka kemungkinan jawabannya D atau E » r, α ——> 10, 315°x = 10 . cos 315° x = 10 . ½√2 x = 5√2y = 10 . sin 315° y = 10 . -½√2 y = -5√2 Jadi koordinat kartesiusnya adalah 5√2, -5√2Untuk lebih jelas dapat dilihat pada gambar di Mengubah atau Mengkonversi Koordinat Kartesius ke Koordinat Polar. Koordinat kutup dari titik -6, 6√3 adalah…A. 12, 30° B. 12, 60° C. 12, 90° D. 12, 120° E. 12, 210°Jawab D Cara biasa r² = -6² + 6√3² r² = 36 + 108 r² = 144 r = 12a = arc tan 6√3 / -6 a = arc tan -√3 a = 120° Jadi koordinat kutubnya adalah 12, 120°Cara praktis » -6, 6√3 ——-> -x, y —–> maka berada di kuadran II » Dari pilihan jawaban di atas yang berada di kuadran II yaitu hanya pilihan D » Sedangkan r tidak usah dicari karena dari pilihan jawaban semuanya = -4, y=4 karena x negatif dan y positif, maka α sudut di kuadran II r = ⇒ ⇒ ⇒karena α sudut di kuadran II, maka α = 180-45°= 135° maka koordinat kutubnya ialah 4√2, 135°a. 3,3 b. 3√3, 9 c. 3, √3 d. 9, 3√3 e. 3, 3√3
SistemKoordinat Pada Autocad. Menggambar suatu obyek tertentu di AutoCAD, terkadang dibutuhkan suatu sistem koordinat untuk memperoleh hasil ukuran yang presisi dan akurat. Dalam penulisan koordinat ada dua buah bidang yaitu bidang 2D dan bidang 3D yang diwakili oleh tiga variab.
0% found this document useful 0 votes49 views25 pagesOriginal TitleSistem Koordinat kartesian, polar, silinder, dan © All Rights ReservedAvailable FormatsPPTX, PDF, TXT or read online from ScribdShare this documentDid you find this document useful?0% found this document useful 0 votes49 views25 pagesSistem Koordinat Kartesian, Polar, Silinder, Dan BolaOriginal TitleSistem Koordinat kartesian, polar, silinder, dan to Page You are on page 1of 25 You're Reading a Free Preview Pages 6 to 10 are not shown in this preview. You're Reading a Free Preview Pages 14 to 23 are not shown in this preview. Reward Your CuriosityEverything you want to Anywhere. Any Commitment. Cancel anytime.
KoordinatPolar. Sudaryatno Sudirham 1 Dapublic Nopembe Koodinat Pola Sudaatno Sudiham Sampai dengan bahaan ebelumna ita membicaaan fungi dengan uva-uva ang digambaan dalam oodinat udut-i
October 07, 2019 Sistem Koordinat Pada Autocad - Koordinat adalah suatu titik hasil dari perpotongan antara garis lintang dan garis bujur yang menunjukkan suatu objek. Dengan kata lain, koordinat merupakan bilangan yang dipakai untuk menentukan lokasi suatu titik dalam garis, permukaan atau koordinat pada AutoCAD digunakan untuk menentukan sebuah titik atau membuat garis. Pada sistem koordinat AutoCAD, sumbu X berlaku sebagai garis horizontal garis mendatar dan sumbu Y sebagai garis vertikal garis tegak. Sistem koordinat pada AutoCAD yang digunakan pada proses penggambaran terdapat 3 jenis, yaitu Sistem koordinat absolut / kartesius, sistem koordinat polar dan sistem koordinat relatif. Sistem Koordinat AutoCADSistem Koordinat Absolut/Kartesius Sistem koordinat Absolut digunakan untuk menempatkan suatu objek sebuah titik pada objek yang diperhitungkan terhadap titik original/awal 0,0 sistem koordinat. Sistem koordinat absolut digunakan dengan menentukan jarak X dan Y terhadap titik awal titik original. Format/rumus yang digunakan adalah X,Y. Contoh 30,50 yang artinya bahwa titik tersebut diletakan atau berada sejauh 30 satuan arah sumbu X dan 50 satuan arah sumbu Y dari titik perpotongan sumbu koordinat titik original.Pada sistem koordinat absolut, sumbu yang ditarik dari titik original/awal ke arah kanan adalah sumbu X positif, sumbu yang ditarik dari titik original/awal ke arah kiri adalah sumbu X negatif, sumbu yang ditarik dari titik original/awal ke arah atas adalah sumbu Y positif dan sumbu yang ditarik dari titik original/awal ke arah bawah adalah sumbu Y negatif. Sistem Koordinat PolarSistem koordinat polar digunakan untuk menempatkan suatu objek/titik dengan cara menentukan panjang dan besar sudut dari titik awal arah/kemiringan selalu diperhitungkan terhadap sumbu X positif. Format penulisan yang digunakan adalah panjang garis
metodeyang sedang berkembang saat ini adalah penggunaan CCTV. CCTV biasanya digunakan untuk sistem keamanan pada tempat-tempat usaha. Hal ini menjadi suatu peluang untuk mengintegrasikan CCTV pada pengaturan traffic light. Dengan mengintegrasikan antara kamera dan lampu lalulintas diharapkan sistem traffic light dapat
30 koordinat, arahkanlah kursor ke sudut yang diinginkan, lalu ketik angka. Garis akan digambar sesuai ke arah yang sesuai dengan posisi kursor saat ini. Dengan jarak yang anda tentukan. Anda dapat menggunakan bantuan POLAR. Klik tombol POLAR di baris status. Jadi untuk membuat garis, pastikan polar aktif. Perintahnya adalah - Specify first point klik sembarang titik A - Specify next point or [Undo] arahkankursor horizontal ke kanan 300 enter - Specify next point or [Undo] arahkankursor vertikal ke atas 200 enter - Specify next point or [Undo] arahkankursor horizontal ke kiri 300 enter - Specify next point or [CloseUndo] c enter C. Rangkuman Koordinat adalah posisi suatu titik terhadap sumbu-sumbu X dan Y. Ada 3 sistem koordinat yang terdapat pada AutoCad yaitu koordinat kartesius, relative dan polar. Koordinat kartesius adalah koordinat yang diwakili oleh nilai x,y yang menunjukkan letak suatu titik koordinat terhadap titik koordinat 0,0 terhadap UCS aktif. Koordinat relatif adalah koordinat yang mengacu pada titik koordinat sebelumnya, sehingga nilai x dan y mewakili besar jarak antara suatu titik koordinat dengan titik koordinat sebelumnya terhadap sumbu x dan y. Koordinat Polar adalah system koordinat pemakai yang digunakan untuk menentukan titik penempatan koordinat berikutnya dari titik saat ini, dengan memasukkan nilai jarak dan arah penempatan koordinat berikutnya dari titik saat ini, dengan memasukkan nilai jarak dan arah penempatan berdasarkan nilai sudut. D. Tes Tes Tertulis 1. Jelaskan, ada berapa sistem koordinat yang dapat digunakan untuk menggambar garis atau bidang 2. Jelaskan yang dimaksud dengan sistek koordinat kartesius pada AutoCad 2D 3. Jelaskan yang dimaksud dengan sistek koordinat relatif pada AutoCad 2D 4. Jelaskan yang dimaksud dengan sistek koordinat polar pada AutoCad 2D 5. Sistem koordinat mana yang tepat untuk menggambar segi empat yang telah diketahui ukuran dan bentuknya Jelaskan. Jawaban Tes Tertulis 1. Koordinat adalah posisi suatu titik terhadap sumbu-sumbu X dan Y. 2. Koordinat kartesius adalah koordinat yang diwakili oleh nilai x,y yang menunjukkan letak suatu titik koordinat terhadap titik koordinat 0,0 terhadap UCS aktif. 3. Koordinat relatif adalah koordinat yang mengacu pada titik koordinat sebelumnya, sehingga nilai x dan y mewakili besar jarak antara suatu titik koordinat dengan titik koordinat sebelumnya terhadap sumbu x dan y. 4. Koordinat Polar adalah system koordinat pemakai yang digunakan untuk menentukan titik penempatan koordinat berikutnya dari titik saat ini, dengan memasukkan nilai jarak dan arah penempatan koordinat berikutnya dari titik saat ini, dengan memasukkan nilai jarak dan arah penempatan berdasarkan nilai sudut. 5. Untuk menggambar segi empat yang telah diketahui ukuran dan bentuknya, system koordinat yang tepat digunakan adalah koordinat Relatif. Karna pada sistem koordinat relatif lebih simple dan mudah untuk memasukkan perintah nilai x dan y. 31 Penilaian Tes Tertulis Skor setiap jawaban benar 2 Nilai Test Tertulis jumlah skor x 5 TES PRAKTIK No. Aspek yang dinilai Nilai Maks Jumlah Nilai Rata-rata 1. Persiapan a. Menghidupakan komputer sesuai prosedur yang ada. 10 b. Kesiapan melaksanakan praktek 5 2. Pelaksanaan a. Kesesuaian langkah kerja dengan SOP 20 b. Kecermatan dan ketelitian 10 c. Waktu yang dibutuhkan 10 3. Hasil a. Menggunakan tombol fungsi dengan benar 45 Jumlah 100 E. Lembar Kerja Praktik Job D Waktu 1x 3 x 45 menit Hari tgl Mengoprerasikan AutoCAD Kelas XI Semester XI Sekolah Menengah Kejuruan A. Tujuan Setelah selesai Praktek siswa diharapkan dapat 1. Memahami fungsi perintah dan icon pada AutoCAD sesuai standar operasional. B. Alat dan Bahan. 1. Alat - Satu set perangkat computer CPU, monitor, keybord, printer - LCD - White bord - Modul 2. Bahan - Flashdisk - Kertas C. Keselamatan Kerja 1. Peserta tidak membawa flashdisk yang terinfeksi virus. 2. Sebelum digunakan, flashdisk harus di scan terlebih dahulu dengan program anti virus. 3. Komputer di laboratorium bukan untuk bermain game. 4. Jangan menambah atau menghapus program.
lain Karakteristik iris adalah sebagai berikut : 1. Mempunyai bentuk geometri polar, merupakan sistem koordinat yang alami. 2. Mempunyai bentuk ketidakteraturan yang tinggi, dan mempunyai entropi 3,2 bit per millimeter persegi jaringan iris. Sistem keamanan menggunakan pola iris mata, disebut juga sebagai sistem identifikasi biometrik.
Sistem Koordinat Polar Sebuah sistem koordinar menyatakan suatu titik pada bidang dengan sepasang bilangan terurut yang disebut koordinat. Seperti yang telah kita ketahui, koordinat Cartesius diperkenalkan oleh Descartes yang merupakan jarak berarah dari dua sumbu yang saling tegak lurus. Pada pembahasan kali ini saya akan merangkum materi tentang suatu sistem koordinat yang disebut yang disebut sistem koordinat polar atau sistem koordinat kutub. Sistem ini diperkenalkan oleh Newton, dan lebih mudah digunakan pada banyak kasus. Pada sistem koordinat polar ini, kita memilih sebuah titik pada bidang yang disebut dengan titik kutub atau titik asal. Setelah itu, buat suatu garis yang berawal dari titik asal tersebut yang disebut sumbu polar atau sumbu kutub. Sumbu ini biasanya digambar secara horizontal ke kanan dan berimpit dengan sumbu x pada koordinat Cartesius. Misalkan P adalah suatu titik pada bidang. Jika r adalah jarak dari O titik asal ke P , dan $theta$ adalah sudut biasanya diukur dalam radian antara sumbu polar dan garis OP, maka pasangan berurut r,$theta$ disebut koordinat polar dari titik P. Kita sepakati bahwa sudut adalah positif jika diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu polar dan negatif jika diukur searah jatum jam. Koordinat 0,$theta$ menyatakan titik kutub atau titik asal, untuk sembarang nilai $theta$. Titik -r,$theta$ dan r,$theta$ terletak pada garis yang sama melalui O dan berjarak sama yaitu r dari O. Jika r > 0, titik r,$theta$ terletak di kuadran yang sama dengan $theta$. Dalam koordinat Cartesius, setiao titik hanya memiliki satu penyajian. Dalam sistem koordinat polar, masing-masing titik mempunyai banyak penyajian. Titik r,$theta$ dapat juga dinyatakan dengan $r,theta +2npi $ atau $-r,theta +2n+1pi $ dengan n adalah bilangan bulat sembarang. Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat Cartesius dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika titik P mempunyai koordinat polar r,$theta$ dan koordinat Cartesius x,y, maka dengan bantuan gambar dapat dilihat hubungan berikut ini $cos theta =frac{x}{r}$ dan $sin theta =frac{y}{r}$ Sehingga, jika kita mengetahui bahwa suatu titk P mempunyai koordinat polar r,$ theta$, maka koordinat Cartesiusnya adalah x,y, dengan x dan y diberikan oleh $x=rcostheta$ dan $y=rsin theta$ Sebaliknya, jika kita tahu bahwa suatu titk P mempunyai koordinat Cartesius x,y, maka koordinat polarnya adalah r,$theta$, dimana r dan $theta$ memenuhi hubungan berikutr²=x²+y² dan $tan theta =frac{y}{x}$ Dalam sistem koordinat polar, suatu kurva umumnya dinyatakan dalam bentuk r = f$theta$, untuk suatu fungsi f. Koordinat Polar dalam Kalkulus Garis Singgung Untuk menentukan garis singgung pada kurva polar r = f$theta$, kita anggap $theta$ sebagai parameter dan menulis persamaan parametriknya sebagai $x=rcos theta =ftheta cos theta$ $y=rsin theta =ftheta sin theta$ Dengan metode penentuan kemiringan garis singgung m pada kurva parametrik kita akan peroleh $m=frac{mathrm{d} y}{mathrm{d} x}=frac{dy/dtheta}{dx/dtheta}=frac{f'theta sin theta +ftheta cos theta }{f'theta cos theta +ftheta sin theta}$ Kurva mempunyai garis singgung horizontal di titik dengan dy/d$theta$ = 0, asalkan dx/d$theta$ 0. Kurva mempunyai garis singgung vertikal di titik dengan dx/d$theta$ = 0, asalkan dy/d$theta$ 0. Luas Untuk menurunkan rumus luas daerah yang dibatasi kurva dalam persamaan polar, kita perlu menggunakan rumus luas sektor/juring dari suatu lingkaran dengan jari-jari r, yaitu $L=frac{1}{2}r^2theta$ dengan $theta$ adalah sudut pusat yang diukur dalam radian. Rumus ini didapat dari fakta bahwa luas sektor/juring lingkaran adlah sebanding dengan sudut pusatnya. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva polar r = f$theta$ dan oleh dua garis $0leq b-aleq 2pi$ = a dan $theta$ = b, dimana f adalah kontinu dan tak negatif serta $0leq b-aleq 2pi$. Kita membagi selang [a,b] menjadi n anak selang yang sama panjang, dengan titik-titik ujung $theta _{0},theta _{1},…,theta _{n}$, dan panjang masing-masing anak selang adalah $bigtriangleup theta$. Dengan demikian, daerah D juga terbagi menjadi n daerah bagian, yang masing-masing memiliki sudut pusat $bigtriangleup theta$. Kita pilih $theta ^*_{i}in [theta _{i-1},theta _{i}]$. Jika $bigtriangleup L_{i}$ menyatakan luas daerah bagian ke-i, maka daerah ini dapat dihampiri dengan luas juring lingkaran dengan jari-jari $ftheta _{i}^*$ dan sudut pusat $bigtriangleup theta$, yaitu $bigtriangleup Lapprox frac{1}{2}ftheta ^*_{i}^2bigtriangleup theta$ Sehingga hampiran untuk total luas daerah D adalah $Lapprox sum_{i=1}^{n}frac{1}{2}ftheta ^*_{i}^2bigtriangleup theta$ Perhatikan bahwa jumlah di atas adalah sebuah jumlah Riemann dan nilai hampiran akan semakin mendekati luas Daerah D jika n menuju takhingga. Akhirnya, kita peroleh rumus untuk menentukan luas daerah D sebagai berikut. $L=int_{a}^{b}ftheta ^2dtheta =int_{a}^{b}frac{1}{2}r^2dtheta$ Panjang Kurva Kita ingin menentukan panjang kurva dari suatu persamaan polar r = f$theta$ untuk $aleq theta leq b$. Dengan mengasumsikan bahwa f kontinu pada selang $[aleq theta leq b]$, kita dapat menggunakan teorema panjang kurva untuk menentukan panjang kurva tersebut, yaitu $P=int_{a}^{b}sqrt{begin{pmatrix} frac{dx}{dtheta } end{pmatrix}^2+begin{pmatrix} frac{dy}{dtheta } end{pmatrix}^2}dtheta$ Karena $x=rcos theta$ dan $y=rsin theta$, maka panjang kurva dari suatu persamaan polar r = f$theta$ untuk $aleq theta leq b$ dapat ditentukan sebagai berikut $P=int_{a}^{b}sqrt{r^2+begin{pmatrix} frac{dr}{dtheta } end{pmatrix}^2}dtheta$ Demikian rangkuam materi tentang Koordinat Polar Semoga bermanfaat
RknC. trof7ojaa3.pages.dev/248trof7ojaa3.pages.dev/287trof7ojaa3.pages.dev/284trof7ojaa3.pages.dev/32trof7ojaa3.pages.dev/139trof7ojaa3.pages.dev/268trof7ojaa3.pages.dev/223trof7ojaa3.pages.dev/108trof7ojaa3.pages.dev/158
format yang digunakan untuk sistem koordinat polar adalah
